2.7 Teorema de Bayes

2.7 TEOREMA DE BAYES

El Teorema de Bayes, permite calcular una probabilidad de un suceso F, a partir de lo ocurrido en el suceso E. Este tipo de teorema usualmente es aplicable a las áreas de control de calidad, para conocer las probabilidades de defectuosidad o no defectuosidad.

La fórmula de Bayes: suponga que F1, F2,…Fn son n eventos que constituyen una participación de un espacio muestral S. Esto es, los F1 son mutuamente excluyentes y su unión es S, además se supone que E es cualquier evento en S, donde P(E) > 0. . La probabilidad condicional de  F1 dado el evento E, ha ocurrido y se expresa por medio de la siguiente fórmula:

Sin embargo, la fórmula de Bayes puede ser difícil de recordar y, por tanto, se menciona de forma sencilla:

Cuando se desarrolla la fórmula de Bayes, se puede apoyar en un árbol de probabilidad, el cual es una representación gráfica que permite visualizar las formas en que se llevan a cabo las agrupaciones de los elementos. Ejemplo: en una micro empresa de ropa se da a maquilar pantalones de mezclilla, dicho negocio cuenta con tres proveedores, el señor Roberto, quien maquila 60%, el señor Juan, 30%, y el resto es producido por el señor José.

Con base en la experiencia, el dueño de la empresa cree que la probabilidad de producir un pantalón defectuoso del señor Roberto es de 4% y las probabilidades correspondientes para el señor Juan y el señor José son 9% y 7%, respectivamente. El día de la entrega se encontró un pantalón defectuoso

¿de qué maquilador es más probable que provenga el pantalón de mezclilla defectuoso? 

Primero se realiza un árbol de probabilidad para que se pueda ilustrar los caminos de probabilidad:

Después se sustituye la fórmula:

Solución: se sigue el camino de cada uno de los maquiladores, que sería el nombre del maquilador, y después se multiplica por lo el dato que se quiere conocer, en este caso, el camino defectuoso que le corresponde, y finalmente se divide entre todos los caminos a seguir de los casos defectuosos.

Por tanto, si se quiere conocer la probabilidad de que el pantalón defectuoso provenga del señor Roberto: 

Si se quiere conocer la probabilidad que provenga del señor Juan:

Si se quiere conocer la probabilidad que provenga del señor José:

Respuesta: es más probable que el pantalón de mezclilla defectuoso provenga del maquilador Juan, ya que la probabilidad es de 46.55%, mayor que la de los otros maquiladores. (Alvarado, 2012)