2.4 Probabilidad con Técnicas de Conteo: Axiomas, Teoremas.

2.4 Probabilidad con Técnicas de Conteo: Axiomas, Teoremas.

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. 

Los axiomas de la formulación moderna de la teoría de la probabilidad constituyen una base para deducir a partir de ellas un amplio número de resultados.  

La letra  P se utiliza para designar la probabilidad de un evento, siendo  P(A) la probabilidad de ocurrencia de un evento A en un experimento.  

AXIOMA 1  

Si A es un evento de S, entonces la probabilidad del evento A es:  

0 ≤ P(A) ≤ 1

Como no podemos obtener menos de cero éxitos ni más de  n éxitos en  n experimentos, la  probabilidad de cualquier evento A, se representa mediante un valor que puede variar de 0 a 1.

AXIOMA 2  

Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de obtener  A o  B es igual a la probabilidad de obtener A más la probabilidad de obtener B.  

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 

Excluirse mutuamente quiere decir que  A y  B no pueden ocurrir simultáneamente en el mismo experimento. Así, la probabilidad de obtener águila o sol  en la misma tirada de una moneda será  

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)  

P(A ∪ B) = 1/2 + 1/2  = 1. 

En general podemos decir que la suma de las probabilidades de todos los posibles eventos mutuamente excluyentes es igual a 1:  

P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1. 

AXIOMA 3  

Si A es un evento cualquiera de un experimento aleatorio y A’ es el complemento de A, entonces:  

P(A’) = 1 -  P(A) 

Es decir, la probabilidad de que el evento A no ocurra, es igual a 1 menos la probabilidad de que ocurra.   

TEOREMAS

TEOREMA 1

Si f es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero.

p(f)=0

DEMOSTRACIÓN:

Si sumamos a un evento A cualquiera, como f y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(AfÈ)=p(A) +p(f)=p(A). LQQD

TEOREMA 2

La probabilidad del complemento de A, A^c debe ser, p(A^c)= 1 – p(A)

DEMOSTRACIÓN:

Si el espacio muestral d, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y A^c luego d=AÈA^c, por tanto p(d)=p(A) + p(A^c) y como en el axioma dos se afirma que p(d)=1, por tanto, p(A^c)= 1 - p(A) .LQQD

TEOREMA 3

Si un evento A Ì B, entonces la p(A) £ p(B).

DEMOSTRACIÓN:

Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=AÈ(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)³0 entonces se cumple que p(A)£p(B). LQQD

TEOREMA 4

 La p( A \ B )= p(A) – p(AÇB)

DEMOSTRACIÓN: Si A y B son  dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AÇB, por tanto, A=(A \ B)È(AÇB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AÇB), entonces, p(A \ B) = p(A) – p(AÇB).  LQQD

TEOREMA 5

Para dos eventos A y B, P(AÈB)=p(A) + p(B) – p(AÇB).

DEMOSTRACIÓN: Si AÈB = (A \ B) È B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A È B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) – p(AÇB), por tanto, p(AÈB) = p(A) + p(B) – p(AÇB).  LQQD.

 (Ramon, 2012)